콘웨이 다면체 표기법

3. 인덱싱된 확장 연산

몇몇 연산은 특정 기준에 따라 그룹화되거나 지수에 의해 동작이 수정될 수 있다.^[8][4] 이는 ''x_n''과 같이 아래첨자를 사용하여 연산자 형태로 표기한다.

각 팽창률에 대한 LSP의 수는 팽창률 1부터 시작하여 2, 2, 4, 6, 6, 20, 28, 58, 82, ... 순서로 증가한다. 그러나 모든 LSP가 반드시 모서리와 꼭짓점이 3-연결 그래프를 형성하는 다면체를 생성하는 것은 아니며, 슈타이니츠 정리에 따라 반드시 볼록 시드로부터 볼록 다면체를 생성하는 것도 아니다. 각 팽창률에 대한 3-연결 LSP의 수는 2, 2, 4, 6, 4, 20, 20, 54, 64, ... 순서로 증가한다.^[8]

3. 1. 증강 (Augmentation)

증강 연산자	x	--	--	--	--
해당하는 결합 형태 연산자	x0	-- k0 = j	-- l0 = c	-- L0	K0 = jk	-- (kk)0
증강		피라미드	프리즘	각기둥

3. 2. 메타/비벨 (Meta/Bevel)

메타는 가운데와 가장자리를 따라 꼭짓점을 추가하고, 베벨은 가운데, 시드 꼭짓점, 가장자리를 따라 면을 추가한다. 지수는 모서리를 따라 추가되는 꼭짓점 또는 면의 수를 나타낸다. 메타(비지수 형태)는 칸티절단 또는 옴니절단이라고도 한다. 여기서 0은 확대 연산과 같은 것을 의미하지 않으며, 모서리를 따라 0개의 꼭짓점(또는 면)이 추가됨을 의미한다.^[4]

메타/베벨 연산자

n	모서리 계수	행렬 $\backslash mathbf\{M\}\_x$	x	xd	dx	dxd
0	3	$\backslash begin\{bmatrix\}$	-- k = m0	-- n	-- z = b0	-- t
1	6	$\backslash begin\{bmatrix\}$	-- m = m1 = kj		-- b = b1 = ta
2	9	$\backslash begin\{bmatrix\}$	m2	m2d	b2	b2d
3	12	$\backslash begin\{bmatrix\}$	m3	m3d	b3	b3d
n	3n+3	$\backslash begin\{bmatrix\}$	mn	mnd	bn	bnd

메디얼(Medial)은 메타와 유사하지만, 각 시드 꼭짓점의 중심에서 모서리를 추가하지 않는다는 점이 다르다. 인덱스 1 형태는 콘웨이의 오쏘(ortho) 연산자 및 익스팬드(expand) 연산자와 동일하다. 익스팬드는 캔틸레이션 및 확장이라고도 한다. 또한 ''o''와 ''e''는 자체 인덱스 형태를 가지며, 이에 대해서는 아래에 설명한다. 또한 일부 구현에서는 1이 아닌 0부터 인덱싱을 시작한다는 점에 유의해야 한다.^[4]

메디얼(Medial) 연산자

n	모서리 계수	행렬 $\backslash mathbf\{M\}\_x$	x	xd	dx	dxd
1	4	$\backslash begin\{bmatrix\}$	-- M1 = o = jj		-- e = aa
2	7	$\backslash begin\{bmatrix\}$	메디얼(Medial): M = M2	Md	dM	dMd
n	3n+1	$\backslash begin\{bmatrix\}$	Mn	Mnd	dMn	dMnd

3. 3. 메디알 (Medial)

메디알(Medial)은 메타와 유사하지만, 각 시드 꼭짓점의 중심에서 모서리를 추가하지 않는다는 점이 다르다.^[4] 인덱스 1 형태는 콘웨이의 오쏘(ortho) 연산자와 익스팬드(expand) 연산자와 동일하다.^[4] 익스팬드는 캔틸레이션 및 확장이라고도 한다.^[4] ''o''와 ''e''는 자체 인덱스 형태를 가지며, 이에 대해서는 아래에 설명한다.^[4] 일부 구현에서는 1이 아닌 0부터 인덱싱을 시작한다는 점에 유의해야 한다.^[4]

메디얼(Medial) 연산자

n	모서리 계수	행렬 $\backslash mathbf\{M\}\_x$	x	xd	dx	dxd
1	4	$\backslash begin\{bmatrix\}$	-- M1 = o = jj		-- e = aa
2	7	$\backslash begin\{bmatrix\}$	메디얼(Medial): M = M2	Md	dM	dMd
n	3n+1	$\backslash begin\{bmatrix\}$	Mn	Mnd	dMn	dMnd

4. 골드버그-콕시터 연산 (Goldberg-Coxeter)

골드버그-콕세터(Goldberg-Coxeter, GC) 콘웨이 연산자는 골드버그-콕세터 구성을 확장한 두 개의 무한 연산자 집합이다.^[16][17] GC 구성은 삼각 격자의 삼각 단면 또는 사각 격자의 사각 단면을 취하여 다면체의 각 면 위에 놓는 것으로 생각할 수 있다. 이 구성은 삼각형 또는 사각형("마스터 다각형")의 챔버를 식별하여 모든 면으로 확장할 수 있다.^[7] 삼각 계열의 연산자는 골드버그 다면체와 측지 다면체를 생성하는 데 사용될 수 있으며, 공식은 측지 다면체 및 골드버그 다면체의 목록을 참조하면 된다.

두 계열은 삼각 GC 계열 ''c_a,b'' 와 ''u_a,b'', 사변형 GC 계열 ''e_a,b'' 와 ''o_a,b''이다. 두 GC 계열 모두 두 정수 a, b (a≥1, b≥0)로 인덱싱된다. 이들은 다음과 같은 특징을 갖는다.

• 계열의 인덱스는 복소수에 대한 특정 유클리드 정역과 관련이 있다. 삼각 GC 계열은 아이젠슈타인 정수, 사변형 GC 계열은 가우스 정수와 관련된다.
• 동일한 계열 내의 'x' 열과 'dxd' 열의 연산자는 서로 교환 법칙이 성립(통근)한다.

• 클래스 I: b=0 인 경우이다. 비대칭이며, 원래 모서리를 보존한다. 0 인덱스를 생략하여, 예를 들어 ''c''_''a'',0 = ''c_a''로 쓸 수 있다.
• 클래스 II: a=b 인 경우이다. 또한 비대칭이며, ''c_a,a'' = ''c_ac''_1,1로 분해할 수 있다.
• 클래스 III: a, b 가 0 이 아니고, a 와 b 가 같지 않은 경우를 말한다. 이들은 카이랄이며, ''c_a,b'' 와 ''c_b,a''는 서로의 카이랄 쌍이다.

4. 1. 삼각형 계열 (Triangular)

• ''c_a,b'' 연산자는 정다면체의 각 면을 정삼각형 격자로 세분화하여 새로운 다면체를 생성한다.
• ''u_a,b'' 연산자는 ''c_a,b'' 연산자와 유사하지만, 다른 방식으로 정삼각형 격자를 세분화한다.

• 클래스 I: 아키랄(achiral)이며, 원래 가장자리를 보존한다. (''c_a,0'' = ''c_a'')
• 클래스 II: 아키랄(achiral)이며, ''c_a,a'' = ''cc_a1,1''로 분해할 수 있다.
• 클래스 III: 키랄(chiral)쌍을 가지며, ''c_a,b''와 ''c_b,a''는 서로 거울상 대칭이다.

삼각 골드버그-콕서 연산자

a	b	종류	모서리 계수 T = a2 + ab + b2	x	xd	dx	dxd
1	0	I	1	-- u1 = S	-- d		-- c1 = S
2	0	I	4	-- u2 = u	-- dc	-- du	-- c2 = c
3	0	I	9	u3 = nn	nk	zt	c3 = zz
4	0	I	16	u4 = uu	uud = dcc	duu = ccd	c4 = cc
5	0	I	25	u5	u5d = dc5	du5 = c5d	c5
6	0	I	36	u6 = unn	unk	czt	u6 = czz
7	0	I	49	u7 = u2,1u1,2 = vrv	vrvd = dwrw	dvrv = wrwd	c7 = c2,1c1,2 = wrw
8	0	I	64	u8 = u3	u3d = dc3	du3 = c3d	c8 = c3
9	0	I	81	u9 = n4	n3k = kz3	tn3 = z3t	c9 = z4
1	1	II	3	-- u1,1 = n	-- k	-- t	-- c1,1 = z
2	1	III	7	v = u2,1	-- vd = dw	dv = wd	-- w = c2,1
3	1	III	13	u3,1	u3,1d = dc3,1	du3,1 = c3,1d	c3,1
3	2	III	19	u3,2	u3,2d = dc3,2	du3,2 = c3,2d	c3,2
4	3	III	37	u4,3	u4,3d = dc4,3	du4,3 = c4,3d	c4,3
5	4	III	61	u5,4	u5,4d = dc5,4	du5,4 = c5,4d	c5,4
6	5	III	91	u6,5 = u1,2u1,3	u6,5d = dc6,5	du6,5 = c6,5d	c6,5=c1,2c1,3
7	6	III	127	u7,6	u7,6d = dc7,6	du7,6 = c7,6d	c7,6
8	7	III	169	u8,7 = u3,12	u8,7d = dc8,7	du8,7 = c8,7d	c8,7 = c3,12
9	8	III	217	u9,8 = u2,1u5,1	u9,8d = dc9,8	du9,8 = c9,8d	c9,8 = c2,1c5,1

4. 2. 사각형 계열 (Quadrilateral)

• 클래스 I: 아키랄(achiral)이며, 원래 가장자리를 보존한다. 0 지수는 생략하여 ''e_a'' 또는 ''o_a'' 와 같이 나타낼 수 있다.
• 클래스 II: 아키랄(achiral)이다.
• 클래스 III: 나머지 모든 연산자들을 포함한다. 키랄(chiral)이며, ''e_a,b'' 와 ''e_b,a'' 또는 ''o_a,b'' 와 ''o_b,a'' 는 서로 키랄 쌍이다.

사변형 골드버그-콕세터 연산자

a	b	클래스	모서리 계수 T = a2 + b2	행렬 $\backslash mathbf\{M\}\_x$	마스터 사각형	x	xd	dx	dxd
1	0	I	1	$\backslash begin\{bmatrix\}$
-- e1 = d
2	0	I	4	$\backslash begin\{bmatrix\}$		-- o2 = o = j2		-- e2 = e = a2
3	0	I	9	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o3	e3		-- o3
4	0	I	16	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o4 = oo = j4		e4 = ee = a4
5	0	I	25	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o5 = o2,1o1,2 = prp	e5 = e2,1e1,2
6	0	I	36	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o6 = o2o3		e6 = e2e3
7	0	I	49	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o7	e7
8	0	I	64	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o8 = o3 = j6		e8 = e3 = a6
9	0	I	81	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o9 = o32	e9 = e32
10	0	I	100	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o10 = oo2,1o1,2		e10 = ee2,1e1,2
1	1	II	2	$\backslash begin\{bmatrix\}$		-- o1,1 = j		-- e1,1 = a
2	2	II	8	$\backslash begin\{bmatrix\}$		o2,2 = j3		e2,2 = a3
1	2	III	5	$\backslash begin\{bmatrix\}$		-- o1,2 = p	-- e1,2 = dp = pd		-- p
$a\; \backslash equiv\; b$$\backslash \; (\backslash mathrm\{mod\}\backslash \; 2)$		I, II, 또는 III	T 짝수	$\backslash begin\{bmatrix\}$	...	oa,b		ea,b
$a\; \backslash not\backslash equiv\; b$$\backslash \; (\backslash mathrm\{mod\}\backslash \; 2)$		I 또는 III	T 홀수	$\backslash begin\{bmatrix\}$	...	oa,b	ea,b		oa,b

^[1]

5. 아르키메데스 다면체와 카탈랑 다면체 생성

콘웨이 다면체 표기법의 기본 연산을 사용하면 정다면체를 씨앗(seed)으로 하여 모든 아르키메데스 다면체와 카탈랑 다면체를 만들 수 있다. 예를 들어, 깎은 정사면체는 tT로, 마름모십이면체는 jC 또는 jO로 표현할 수 있다.

아래는 아르키메데스 다면체와 카탈랑 다면체를 콘웨이 표기법으로 나타낸 것이다.

아르키메데스 다면체

다면체	이름	콘웨이 표기법
--	깎은 정사면체	tT
	정육팔면체	aC = aaT
--	깎은 정육면체	tC
--	깎은 정팔면체	tO = bT
--	마름모육팔면체	eC = a3T
--	깎은 정육팔면체	bC
--	스너브 정육면체	sC
	이십십이면체	aD
--	깎은 정십이면체	tD
--	깎은 정이십면체	tI
--	마름모이십십이면체	eD
--	깎은 정이십십이면체	bD
--	스너브 정십이면체	sD & sI

카탈랑 다면체

다면체	이름	콘웨이 표기법
	삼방사면체	kT
	마름모십이면체	jC
	삼방팔면체	kO
	사방육면체	kC
	델토이드 이십사면체	oC
	육방십이면체	mC
	오각이십사면체	gC
	마름모삼십면체	jD
	삼각이십면체	kI
	오각십이면체	kD
	델토이드 육십면체	oD
	육방삼십면체	mD
	오각육십면체	gD & gI

6. 생성 예시

콘웨이 다면체 표기법은 다면체를 설명하고 분류하기 위해 고안된 방법이다. 이 표기법은 존 호턴 콘웨이가 개발했으며, 씨앗(seed) 역할을 하는 기본 다면체에서 시작하여 다양한 연산(operations)을 적용하여 복잡한 다면체를 생성하는 방식으로 작동한다.

측지 다면체 및 골드버그 다면체의 목록에서 콘웨이 다면체 표기법을 사용한 예시를 확인할 수 있다.

7. 평면 및 곡면에서의 콘웨이 표기법

콘웨이 표기법은 평면 타일링이나 토러스와 같은 곡면에도 적용할 수 있다.^[1]

7. 1. 평면에서의 예시

7. 2. 곡면에서의 예시

참조

_[1] 서적 The Symmetries of Things AK Peters
_[2] MathWorld Conway Polyhedron Notation
_[3] 웹사이트 Conway Notation for Polyhedra http://www.georgehar[...] 1998
_[4] 웹사이트 conway - Conway Notation transformations http://www.antiprism[...]
_[5] 웹사이트 polyHédronisme https://levskaya.git[...]
_[6] 웹사이트 Conway Notation for Polyhedra http://www.georgehar[...] 1998
_[7] 간행물 Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations
_[8] arXiv Generation of Local Symmetry-Preserving Operations 2020-04-12
_[9] arXiv Local Orientation-Preserving Symmetry Preserving Operations on Polyhedra 2020-04-11
_[10] MathWorld Rectification
_[11] MathWorld Cumulation
_[12] MathWorld Truncation
_[13] 웹사이트 Antiprism - Chirality issue in conway https://groups.googl[...]
_[14] 간행물 Generation of an icosahedron by the intersection of five tetrahedra: geometrical and crystallographic features of the intermediate polyhedra http://www.mi.sanu.a[...]
_[15] conference Sculpture based on Propellorized Polyhedra http://www.georgehar[...] 2000-08
_[16] 간행물 Goldberg–Coxeter constructions for 3-and 4-valent plane graphs http://www.combinato[...]
_[17] 서적 Geometric Structure of Chemistry-Relevant Graphs: Zigzags and Central Circuits Springer